Ξαφνικά τις τελευταίες ημέρες το μακρινό Ιράν φωτίστηκε λίγο περισσότερο αλλά μόνον σε σχέση με τον πόλεμο. Για την ζωή των ανθρώπων εκεί λίγα πράγματα μαθαίνουμε και λίγο φαίνεται να ενδιαφέρει και αυτούς που κινούν τα νήματα της «ενημέρωσης» ώστε να μας πληροφορήσουν σχετικά.
Έχω γνωρίσει και μιλήσει με ανθρώπους από το Ιράν και έχω συγκρατήσει από αυτά που μου έχουν πει και το ότι τα σχολεία τους είναι σε πολύ υψηλό επίπεδο με τους μαθητές να παραμένουν πολλές ώρες στο σχολικό περιβάλλον παλεύοντας για καλές επιδόσεις.
Σκέφθηκα ότι είναι μια καλή ευκαιρία να θυμίσουμε πως μεγάλωσε στο Ιράν και μετά από το Πανεπιστήμιο εκεί μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες η διασημότερη Μαθηματικός αυτού του αιώνα, μέχρι σήμερα τουλάχιστον. Ίσως διασημότερη και αξιότερη σε κατ’ ευθείαν σύγκριση χωρίς ελαφρυντικά φύλου και με τους άνδρες συναδέλφους της.
Η Μαριάμ Μιρζακχανί γεννήθηκε στις 12 Μαΐου του 1977 αλλά έζησε δυστυχώς μόνον μέχρι το 2017. Και όμως, μέσα σε αυτά τα 40 χρόνια έκανε πολλούς διάσημους μαθηματικούς να παραδεχθούν τις ικανότητές της, τα αυστηρότερα Πανεπιστήμια, Στάνφορντ, Χάρβαρντ, ΜΙΤ να την παρακαλούν να κάνει την έρευνα της σε αυτά και έφθασε τα τρία σοβαρότερα περιοδικά για τις μαθηματικές επιστήμες να δημοσιεύουν σχεδόν ταυτόχρονα εργασίες της.
Από μικρή έκανε κορυφαίες αλλά και πρωτόγνωρες επιδόσεις. Κατάφερε με μια κολλητή της φίλη στο Γυμνάσιο ακόμη, να γίνουν δεκτές για πρώτη φορά αν και κορίτσια, στην ομάδα που θα διαγωνιζόταν σε Μαθηματική Ολυμπιάδα. Το 1994 και το 1995 η Μαριάμ έγραψε 41 στα 42 και το 1995 42 στα 42, παίρνοντας χρυσό μετάλλιο. Έκανε μαθήτρια ακόμη εργασία με κάποιον καθηγητή και για χωρισμό γράφων σε πενταμελείς κύκλου (στα διακριτά Μαθηματικά ένας γράφος ή ένα γράφημα είναι μια αφηρημένη αναπαράσταση ενός συνόλου στοιχείων, όπου μερικά ζεύγη στοιχείων συνδέονται μεταξύ τους με δεσμούς. Τα διασυνδεδεμένα στοιχεία αναπαριστώνται με μαθηματικές έννοιες οι οποίες ονομάζονται κορυφές ή κόμβοι ενώ οι δεσμοί που συνδέουν τα ζευγάρια των κορυφών ονομάζονται ακμές. Συνήθως, ένα γράφημα απεικονίζεται σε διαγραμματική μορφή ως ένα σύνολο κοκκίδων για τις κορυφές, ενωμένα μεταξύ τους με γραμμές ή καμπύλες για τις ακμές).
Μπόρεσε και έδειξε ότι κάποιες κατηγορίες γράφων μπορούν να χωρίζονται σε άλλους μικρότερους με πέντε μέλη και βρήκε τα κριτήρια γι’ αυτό.
Τελειώνοντας το Λύκειο έγραψε και ένα βιβλίο μαζί με την κολλητή της φίλη βοήθημα πολύτιμο για τα παιδιά που θα ήθελαν να συμμετάσχουν στις Ολυμπιάδες Μαθηματικών. Μετά το τέλος των σπουδών της στα Μαθηματικά σε Πανεπιστήμιο της Τεχεράνης έφυγε για τις Ηνωμένες Πολιτείες, και δεν πήγε σε κάτι μικρότερο από το Χάρβαρντ.
Τότε οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να προσδιορίσουν πόσες απλές κλειστές γεωδαισιακές γραμμές δεδομένου μήκους μπορεί να έχει μια υπερβολική επιφάνεια. Στη διδακτορική της διατριβή, την οποία ολοκλήρωσε το 2004, η Μιρζακχανί απάντησε αναπτύσσοντας έναν τύπο για το πώς ο αριθμός των απλών γεωδαισιακών μήκους L αυξάνεται καθώς το L μεγαλώνει(Γεωδαισιακή γραμμή είναι καμπύλη ελάχιστου μήκους που συνδέει δύο σημεία του χωροχρόνου. Είναι η γενίκευση της ευθείας γραμμής σε Καμπύλους Χώρους. Είναι σε αυτούς τους χώρους εκείνη η γραμμή, η οποία ενώνει δυο σημεία που βρίσκονται πάνω σε μια επιφάνεια και έχει το ελάχιστο δυνατό μήκος). Στην πορεία, δημιούργησε συνδέσεις με δύο άλλα σημαντικά ερευνητικά ερωτήματα, λύνοντας και τα δύο.
Παντρεύτηκε έναν Σλοβάκο επίσης μαθηματικό στο Στάνφορντ, απέκτησε το 2011 μια κόρη και το 2014 ήταν η πρώτη γυναίκα που της απονεμήθηκε το Μετάλλιο Φιλντς, ισοδύναμο κατά κάποιο τρόπο με το Νομπέλ για τους μαθηματικούς, κάτι το πρωτάκουστο τότε. Πήγε μάλιστα στην τελετή που έγινε στην Σεούλ απλούστατα ντυμένη και κρατώντας αγκαλιά την τρίχρονη κόρη της ενώ είχαν ξεκινήσει τα προβλήματα υγείας της.
Η Μαριάμ Μιρζακχανί παραλαμβάνει το μετάλλιο Φιλντς.
Πηγή: Wikipedia
Ένας καρκίνος στο στήθος που πολεμήθηκε με τις πιο καινούριες μεθόδους της εποχής εξελίχθηκε τελικά σε μεταστατικό καρκίνο στο συκώτι και σε άλλα όργανα οπότε η συνέχεια ήταν προδιαγεγραμμένη.
Η 12τη Μαΐου, ημέρα των γενεθλίων της, ορίστηκε ως παγκόσμια ημέρα για την ενθάρρυνση περισσότερων γυναικών να ασχοληθούν με τα Μαθηματικά και τα προβλήματά τους.
Κάποια μικρότερα προβλήματα όμως αρχίζουν εδώ…
1. Για τους μικρότερους φίλους μας, να θυμούνται κάτι χρήσιμο: Σε ένα τρίγωνο έχουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο(που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και εφάπτεται σε κάθε μια από τις πλευρές του) και τον περιγεγραμμένο κύκλο που περνάει από κάθε μια από τις κορυφές του. Αν είναι ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου και Ρ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στην περίπτωση που το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στο άθροισμα των διαμέτρων αυτών των κύκλων και το άθροισμα των καθέτων πλευρών του τριγώνου. Ποια είναι αυτή;
2. Αφού αναφερθήκαμε πριν στην Μυριάμ Μιρζακχανί που κατάφερε στις δυο Παγκόσμιες Ολυμπιάδες Μαθηματικών, του 1994 και του 1995 να πάρει ως μαθήτρια 42 βαθμούς(με άριστα το 42!) και 41 αντίστοιχα, ας δώσουμε εδώ ένα από τα προβλήματα που διαγωνίστηκε σε αυτά τότε( προφανώς το πιο απλό από όλα): Να ευρεθούν όλα τα συντεταγμένα ζεύγη (μ, ν) όπου μ και ν θετικοί ακέραιοι, που πληρούν την συνθήκη: ο λόγος (ν3 +1) / (μν – 1) είναι ακέραιος.
Και τελειώνουν εδώ γιατί έχουμε και τις λύσεις
1. Απάντηση
Θα χρησιμοποιήσουμε τα γνωστά από το σχολείο θεωρήματα. α) Οι δυο εφαπτόμενες από ένα σημείο προς τον ίδιο κύκλο είναι ίσες και β) οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου στα σημεία επαφής είναι κάθετες στις πλευρές του τριγώνου.
Φέρουμε τις ακτίνες στα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου και σχηματίζεται ένα τετράγωνο με πλευρά ρ. Για την υποτείνουσα γ του ορθογωνίου τριγώνου ισχύει ότι είναι ίση με την διάμετρο 2Ρ του
περιγεγραμμένου κύκλου αλλά και ότι το μήκος της με βάση το α) θα είναι (α-ρ) + (β-ρ)επομένως θα ισχύει ότι (α-ρ) + (β-ρ) = 2Ρ ή ότι (α+β) = 2ρ + 2Ρ ή ότι (α+β) = δ + Δ. Άρα το άθροισμα των καθέτων είναι ίσο με το άθροισμα των διαμέτρων εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου.
2. Απάντηση
Υποθέτουμε ότι [(ν3 +1) / (μν – 1)] = κ, με κ ακέραιο θετικό. Τότε θα ισχύει: (ν3 + 1) = (μν-1)κ άρα κ = -1(mod ν) οπότε έστω κ=ζν-1*. Άρα (ν3 + 1) = (μν-1)(ζν-1). Που δίνει τελικά μετά τις πράξεις: ν2 – μζν + μ + ζ = 0. Άρα το ν είναι μια λύση της χ2 – μζχ + μ + ζ. Έστω π ή άλλη λύση. Τότε για το άθροισμα των ριζών θα έχουμε: ν+π= μζ άρα και ο π είναι ακέραιος. Από την νπ = μ+ζ προκύπτει ότι και ο π θετικός. Αν ζ, μ, ν, π όλοι μεγαλύτεροι του 1 τότε νπ> ν+π και μζ > μ+ζ. Επειδή όμως είχαμε πριν ότι ν+π= μζ και νπ = μ+ζ αν τις συνδυάσουμε θα καταλήξουμε στο μ+ζ>ν+π και μ+ζ<ν+π. Που είναι αδύνατον να συμβαίνουν ταυτόχρονα. Άρα τουλάχιστον ένας από τους ζ,μ,ν,π είναι ίσος με το 1. Αν λοιπόν ένας από τους μ,ζ είναι μονάδα έστω ο ζ τότε νπ=μ+1 ν+π=μ οπότε αφαιρώντας κατά μέλη: νπ-ν-π=1 ή (ν-1)(π-1)=2 . Αυτή θα αληθεύει αν (ν,π) = (3,2) ή (2,3). Από αυτές προκύπτουν μ=5 για ζ=1(που την υποθέσαμε) ή και (μ=1, ζ=5). Αν πάμε πίσω και υποθέσουμε ότι ένας εκ των ν και π είναι 1 θα προκύψει ότι (μ,ζ)=(3,2) ή (2,3) . Τελικά αν τα συγκεντρώσουμε όλα μαζί οι πιθανές λύσεις θα είναι τα ζεύγη: (μ,ν) = (2,2), (5,3), (5,2), (1,3), (1,2), (3,5), (2,5), (3,1), (2,1).
*Για όποιον είχε δυσκολία να δεχθεί την (ν3 + 1) = (μν-1)κ άρα κ = -1(mod ν) οπότε έστω κ=ζν-1 μπορούμε να δώσουμε την εξήγηση:
· κ = -1 (mod ν): Το κ μπορεί να γραφεί με την μορφή: κ = νμ – 1, όπου μ ακέραιος. Π.χ. αν ν=5 τότε κ μπορεί να είναι 4=(5×1 -1), 9(5×2-1), 14(5×3-1) κλπ.
· κ= ν-1 (mod ν): Αφού ν επί μ είναι πάντα διαιρετό από το ν το υπόλοιπο όταν το κ διαιρείται από το ν είναι το ίδιο με το υπόλοιπο της διαίρεσης του -1 διαιρούμενου από το ν. Για το μικρότερο μη αρνητικό υπόλοιπο προσθέτουμε το ν στο (ν-1) άρα κ=-1(mod n) είναι ισοδύναμο στο κ = (ν-1)(mod n).
Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr
