Φυγοκεντρητής είναι η εργαστηριακή συσκευή που χρησιμοποιείται για τον διαχωρισμό υγρών με βάση την πυκνότητα. Ο διαχωρισμός επιτυγχάνεται τοποθετώντας το υπό εξέταση υγρό(π.χ. αίμα) σε δοκιμαστικό σωλήνα και μέσω περιστροφής να γίνεται κάποιος διαχωρισμός των συστατικών που το αποτελούν. Συνήθως σε κάθε φυγοκέντρηση έχουμε μια συλλογή δοκιμαστικών σωλήνων οπότε είναι πολύ σημαντικό να έχουμε μια ισορροπημένη τοποθέτηση των σωλήνων στις περιφερειακά κατανεμημένες θήκες. Η λειτουργία ενός φυγοκεντρητή με μη ισορροπημένο φορτίο λέγεται ότι μπορεί σε κάποια περίπτωση ακόμη και να τον καταστρέψει μόνιμα. Ένας φυγοκεντρητής ονομάζεται ισορροπημένος εάν το κέντρο μάζας της συλλογής δοκιμαστικών σωλήνων συμπίπτει με το κέντρο μάζας της συσκευής.
Πρόβλημα: Για ποια ζεύγη (n,k) με 1 ≤ k ≤ n μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο να ισορροπήσετε k πανομοιότυπους δοκιμαστικούς σωλήνες σε φυγοκεντρητή n οπών;
Ας σκεφτούμε μερικές ειδικές περιπτώσεις για να κατανοήσουμε το πρόβλημα:
Αν n=3 τότε μπορείτε να ισορροπήσετε τον φυγοκεντρητή μόνο αν k=3, και αν n=4 μπορείτε να ισορροπήσετε για k=2 και k=4. Αν n=6, τότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι δεν μπορείτε να επιτύχετε ισορροπία αν k=1 ή 5, αλλά μπορείτε αν k=2, 3, 4 ή 6.
Αν n=5 ή 7, από την άλλη πλευρά, μπορείτε να ισορροπήσετε μόνο αν k=n. Φαίνεται ότι η απάντηση μπορεί να έχει να κάνει με το αν το n είναι πρώτος ή όχι…
Αν n=8, τότε μπορείτε να ισορροπήσετε αν και μόνο αν το k είναι άρτιος. Αν n=9, μπορείτε να ισορροπήσετε για k=3, 6 ή 9. Αν n=10, μπορείτε να ισορροπήσετε για k= 2, 4, 5, 6, 8 ή 10. Παρατηρήστε, για παράδειγμα, ότι αν θέλετε να ισορροπήσετε τη φυγόκεντρο με k=7, θα μπορούσατε να δοκιμάσετε να ξεκινήσετε με ένα ισορροπημένο σετ 5 δοκιμαστικών σωλήνων (που καταλαμβάνουν κάθε δεύτερη υποδοχή) και στη συνέχεια να προσθέσετε δύο ακόμη σε αντίθετες οπές, αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα: μία από κάθε ζεύγος αντίθετων οπών είναι ήδη κατειλημμένη! Θα το ονομάσουμε αυτό πρόβλημα επικάλυψης. Είναι κατά κάποιο τρόπο η βασική λεπτότητα σε αυτό το πρόβλημα. Αν n=11, μπορείτε να ισορροπήσετε αν και μόνο αν k=11. Αν n=12, μπορείτε να ισορροπήσετε τη φυγόκεντρο εφόσον το k δεν είναι 1 ή 11. Για ένα μεγαλύτερο παράδειγμα: αν n=21, μπορείτε να ισορροπήσετε αν και μόνο αν k=3,6,7,9,12,14,15,18 ή 21. Για μια άλλη απεικόνιση του προβλήματος επικάλυψης, σκεφτείτε τι συμβαίνει όταν k=10. Θα μπορούσατε να δοκιμάσετε να πάρετε μια ισορροπημένη διαμόρφωση 7 δοκιμαστικών σωλήνων (σε απόσταση ανά 3) και στη συνέχεια να προσθέσετε 3 ακόμη σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου, αλλά θα διαπιστώσετε ότι δεν λειτουργεί.
Εδώ, επειδή κάποιος έχει πρώτα απ’ όλα να λύσει ένα πρακτικό πρόβλημα για να κάνει την δουλειά του και μάλιστα μια δοyλειά που έχει σχέση με την δημόσια υγεία χρειαζόμαστε μια λύση έστω κα χωρίς απόδειξη, αυτό που ονομάζεται συχνά στα Μαθηματικά «μια εικασία» αλλά να δίνει σωστά αποτελέσματα. Αυτή η εικασία διατυπώθηκε ως εξής:
Μπορούμε να κατανείμουμε ισορροπημένα κ όμοιους (ως προς το σχήμα και τον όγκο) δοκιμαστικούς σωλήνες με 1<= k <= n σε έναν φυγοκεντρητή με n θέσεις τότε και μόνον τότε αν ταυτόχρονα k και (n-k) μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα πρώτων διαιρετών του n.
Για παράδειγμα αν έχουμε φυγοκεντρητή με n=21 θέσεις και k=6 δοκιμαστικούς σωλήνες προς φυγοκέντρηση επειδή 6=3+3 και 21-6=15 με το 15= 3+3+3+3+3 τότε υπάρχει τρόπος να τοποθετηθούν ισορροπημένα. Αντίθετα για k=10 δοκιμαστικούς σωλήνες αν και 10=3+7, δηλαδή άθροισμα πρώτων αριθμών επειδή n-k=21-10=11 και το 11 δεν μπορεί να εκφραστεί με την βοήθεια των 3 και 7 δεν μπορεί να υπάρξει ισόρροπη κατανομή.
Οι αναγνώστες επίσης μπορούν να διαπιστώσουν ότι αν ο n διαιρείται ακριβώς από το 6 τότε κάθε ζεύγος (νn,k) με 2<= k <= n-2 μπορεί να ισορροπηθεί. Για n>= 5 αυτό συμβαίνει αν το n είναι διαιρετό από το 6. Κάτι που εξηγεί το γιατί οι φυγοκεντρητές έχουν συνήθως αριθμό θέσεων πολλαπλάσιο του 6. Με απλούς υπολογισμούς δηλαδή βρίσκουμε την σωστή τοποθέτηση των δοκιμαστικών σωλήνων. Ένα πρακτικό πρόβλημα που λύνεται με τα Μαθηματικά.
Έχουμε όμως και άλλα προβλήματα
Αυτή την φορά τα παρακάτω δεν απαιτούν γνώσεις πέρα από αυτές του Γυμνασίου
1. Πώς θα εκφράσουμε την γωνία μεταξύ του μεγάλου και του μικρού δείκτη σε ένα κλασικό ρολόι; Δηλαδή να μας δίνουν την ώρα(π.χ. 8 και 5) και εμείς να βρίσκουμε την γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι δείκτες.
2. Μια ομάδα 22 εκδρομέων υπολόγισε την τροφή που χρειάζεται για κατασκήνωση 18 ημερών. Αν την τελευταία στιγμή προστέθηκαν άλλοι 14 εκδρομείς για πόσες ημέρες θα φθάσει η ίδια ποσότητα προμηθειών;
3. Σε μια πόλη το 60% των ανδρών είναι παντρεμένο με το 80% των γυναικών. Ποιο είναι το ποσοστό των παντρεμένων κατοίκων αυτής της πόλης; (θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν γάμοι ανδρών με άνδρες, γυναικών με γυναίκες και ότι ο καθένας έχει παντρευτεί μόνον μια φορά)
4. Μια ευθεία διαδρομή από το Α στο Δ σημείο σε κολυμβητήριο είναι στον άξονα Ανατολή-Δύση. Φυσάει άνεμος από την Ανατολή στην διάρκεια μιας χρονομέτρησης κολυμβητή έτσι ώστε να αυξάνει κατά 1 χιλιόμετρο την ώρα την ταχύτητά του όταν κολυμπάει προς Δυσμάς και να την ελαττώνει κατά 1 χιλιόμετρο την ώρα. Όταν φυσάει αέρας αλλάζει κάτι ως προς τον χρόνο κολύμβησης από το Α στο Δ και πίσω πάλι στο Α σε σχέση με το αν δεν φυσάει αέρας;(θεωρούμε ότι η ταχύτητα κολύμβησης σε όλες τις περιπτώσεις είναι ομαλή, δηλαδή έχει πάντα σταθερή τιμή).
Ευτυχώς εδώ είναι και οι λύσεις
1. Απάντηση
Θα εκφράσουμε την γωνία που έχε διανύσει κάθε δείκτης χωριστά σε σχέση με την ώρα 12 κα στην συνέχεια θα πάρουμε την (απόλυτη τιμή στην)διαφορά των δυο γωνιών.
Αν είναι Η μια ένδειξη σε ώρες και Μ μια ένδειξη σε λεπτά τότε: Για μετακίνηση του λεπτοδείκτη κατά ένα λεπτό η αντιστοιχία στην μεταβολή της γωνίας επειδή στις 360 μοίρες έχουμε διαδρομή του λεπτοδείκτη 60 λεπτά για το 1 λεπτό η γωνία περιστροφής θα είναι 360/60 = 6 μοίρες ανά λεπτό. Άρα για Μ λεπτά ένδειξη η διανυόμενη γωνία θα είναι (Μx6).
Στην συνέχεια για των ωροδείκτη έχουμε: Το χρονικό διάστημα της 1 ώρας ο ωροδείκτης στρέφεται κατά 360/12 = 30 μοίρες οπότε για ένδειξη ακέραιας ώρας Η έχει στραφεί ο ωροδείκτης κατά 30x H μοίρες. Μένει να βρούμε και αν έχουν περάσει και κάποια λεπτά μετά από αυτήν την ώρα πόσες επί πλέον μοίρες έχει στραφεί ο ωροδείκτης. Αφού για την μια ώρα στρέφεται κατά 30 μοίρες και η ώρα έχει 60 λεπτά, κατά το 1 λεπτό ο ωροδείκτης θα στρέφεται κατά 30/60 = (1/2) της μοίρας. Οπότε ο τελικός τύπος για τη νπεριστροφή του ωροδείκτη διαμορφώνεται σε 30x Η + Μ/2. Άρα η διαφορά των δυο γωνιών θα είναι [30x Η + (Μ/2)] – (Μx6) ή τελικά: [30x H –(5,5)XM]
2. Απάντηση
Η συνολική ποσότητα της τροφής μπορεί κατά κάποιο τρόπο να εκφραστεί ως 18×22. Αν Η είναι οι ημέρες που θα φθάσει αυτή η ποσότητα όταν προστεθούν και οι 14 τότε θα ισχύει η εξίσωση: 18×22 = Ηx(22 + 14) οπότε Η = 11.
3. Απάντηση
Όλα ξεκινούν από την παρατήρηση ότι το 60% των ανδρών θα αντιστοιχεί στο 80% των γυναικών, δηλαδή υπάρχει μια σχέση 0,60Α = 0,80Γ άρα Γ = (0,60/0,80)Α ή Γ= 0,75 Α. Οι έγγαμοι κάτοικοι θα είναι το διπλάσιο από τον αριθμό των ανδρών δηλαδή (2x 0,60A) και όλοι οι κάτοικοι θα είναι: (Α+Γ). Οπότε το ζητούμενο ποσοστό προκύπτει ως: [(2x 0,60A)/ (Α+Γ)]. Και επειδή Γ = 0,75Α τελικά έχουμε το ποσοστό να είναι 1,2/(7/4) ή(4,8/7) περίπου 68%.
4. Απάντηση
Αν η απόσταση από Α στο Δ είναι Π, όταν δεν φυσάει αέρας ο χρόνος κολύμβησης με ταχύτητα Β θα είναι Χ= (2Π/Β). Αν φυσάει αέρας από Α σε Δ ο χρόνος θα είναι: Χ1=(Π/Β+1) και στην επιστροφή Χ2=(Π/Β-1). Άρα ο συνολικός χρόνος από Α σε Δ και πίσω θα είναι Χ’ = [(Π/Β+1) + (Π/Β-1)]. Ο λόγος των δυο χρόνων θα είναι Χ’/Χ = [1/(1-Β2)]. Που είναι μεγαλύτερος του 1 άρα όταν φυσάει αέρας η επίδοση του κολυμβητή θα είναι χειρότερη.
Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr
